行列式的计算

1. 三角行列式（上三角、下三角）

最简法则： 主对角线元素 $a_{ii}\ne 0$$a_{ii} \neq 0$ 时，行列式值为主对角线元素的乘积。

例：

2. 行列式的三种基本运算性质

① 倍加性：行列式的某一行（或某一列）的 k 倍加到另一行（或列）上，行列式值不变。 ② 数乘性：行列式的某行（或列）的所有元素的公因子 k 可提取到行列式外。 ③ 交替性：行列式的两行（或列）交换，行列式的值变号。

例：

3. 每行（列）元素之和相等

例：

4. 范德蒙（Vandermonde）行列式

特征： (1) 第 i 行（列）元素为 $x_j^{i-1}$$x_j^{i-1}$ （ j 为列标）。 (2) 第 i 行（列）为 i-1 次幂。 (3) 结果为：所有列标差的乘积，即 $\prod _{1\le j<i\le n}(x_i-x_j)$$\prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)$。

例：

5. 化为行列式：多“下三角”的“主对角线上的第2~n个元素化为1”

步骤： ① 将主对角线的第2~n个元素化为1； ② 再将行列式化为三角形。

例：计算

6. 余子式、代数余子式

① 余子式 $M_{ij}$$M_{ij}$：元素 $a_{ij}$$a_{ij}$ 去掉其所在 行 与 列 后形成的行列式。
② 代数余子式 $A_{ij}$$A_{ij}$：带符号的余子式，定义为：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

7. 行列式展开定理

行列式的值 = 某一行（或列）的所有元素 乘以 其对应的 代数余子式，再求和。

示例（按第一行展开）：

替换法求代数余子式的线性组合

已知行列式：

求 $A_{31}+3A_{32}-2A_{33}+2A_{34}$$A_{31} + 3A_{32} - 2A_{33} + 2A_{34}$。

解法：将原行列式的第 3 行替换为 所求组合的系数，新行列式的值即为所求结果：

8. 拆和法计算行列式

示例：

推论：
① 当行列式的某一行（列）元素为 两数之和时，行列式可分解为 两个行列式之和。
② 当行列式的某两行（列）成比例时，行列式的值为 0。

9. 拉普拉斯行列式（分块三角行列式）

示例：

矩阵相关知识点总结

一、矩阵的乘法

1. 设矩阵 $\begin{array}{c}{A}_{2\times 2}={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}_{2\times 2}，B_{2\times 3}={\left(\begin{array}{ccc}e& f& g\\ h& m& n\end{array}\right)}_{2\times 3}\end{array}$$A_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}_{2 \times 2} ， B_{2 \times 3} = \begin{pmatrix} e & f & g \\ h & m & n \end{pmatrix}_{2 \times 3}$，则：

其中 $C_{ij}$$C_{ij}$ 表示前一个矩阵的第 i 行元素与后一个矩阵的第 j 列元素对应相乘再求和，例如：

注：

• 矩阵乘法的“合法性”：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数（即 $A_{i\times j}\cdot B_{j\times k}=C_{i\times k}$$A_{i \times j} \cdot B_{j \times k} = C_{i \times k}$）
• 矩阵相乘的结果：前行后列（行数等于前矩阵行数，列数等于后矩阵列数）

2. 设矩阵$\begin{array}{c}{A}_{2\times 2}={\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}_{2\times 2}\end{array}$$A_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}_{2 \times 2}$ ，有$\begin{array}{c}k{A}_{2\times 2}={\left(\begin{array}{cc}ka& kb\\ kc& kd\end{array}\right)}_{2\times 2}\end{array}$$kA_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}_{2 \times 2}$ 。

矩阵乘法的性质： ① 不满足交换律：$AB\ne BA$$AB \neq BA$ ② 满足分配律：$A(B+C)=AB+AC$$A(B+C) = AB + AC$ 例如：$AB+A=A(B+I)$$AB + A = A(B+I)$，其中 $I$$I$ 为单位矩阵，如：

二、逆矩阵的定义

对于方阵（行数=列数的矩阵），若存在方阵 $B$$B$ 使得 $AB=E$$AB = E$（或 $BA=E$$BA = E$），则称 $A,B$$A, B$ 互为逆矩阵，记为：

其中 $E$$E$ 为单位矩阵。

性质：

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$$(A^{-1})^{-1} = A$
• $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$$(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$
• $(A^n{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^n$$(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

三、抽象解法求逆矩阵

示例：设方阵 $A_{n\times n}$$A_{n \times n}$ 满足 $A^2-A-2E=0$$A^2 - A - 2E = 0$，求 $(A+2E{)}^{-1}$$(A+2E)^{-1}$

法1：凑反法（凑出 $(A+2E)\cdot ?=E$$(A+2E) \cdot ? = E$）

由 $A^2-A-2E=0$$A^2 - A - 2E = 0$，对等式变形凑因式：

故 $(A+2E{)}^{-1}=-\frac{1}{4}(A-3E)$$(A+2E)^{-1} = -\frac{1}{4}(A - 3E)$

法2：长除法（多项式除法）

对多项式 $A^2-A-2E$$A^2 - A - 2E$ 除以 $A+2E$$A+2E$：

四、数字矩阵求逆：利用初等行变换求 $A^{-1}$$A^{-1}$

核心原理：构造增广矩阵 $(A|E)$$(A|E)$，对其进行初等行变换，当左侧矩阵 $A$$A$ 变为单位矩阵 $E$$E$ 时，右侧即为 $A^{-1}$$A^{-1}$：

eg：求 $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 3& 1& 5\\ 3& 2& 3\end{array}\right)\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{pmatrix}$的逆矩阵 $A^{-1}$$A^{-1}$

解：

【二阶矩阵求逆：秒杀法】

口诀：二调一除

• 二调：主对角线元素位置调换，辅对角线元素取反号
• 一除：整体除以矩阵的行列式 $|A|$$|A|$

eg：求 $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 2\end{array}\right)\text{的}\text{逆}\text{矩}\text{阵}{A}^{-1}\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} 的逆矩阵 A^{-1}$

小结：矩阵可逆的充要条件

五、矩阵方程求解

常见题型（前提：$A^{-1}$$A^{-1}$ 存在）

1. 若 $A\cdot X=B$$A \cdot X = B$，则 $X=A^{-1}B$$X = A^{-1}B$
2. 若 $X\cdot A=B$$X \cdot A = B$，则 $X=B{A}^{-1}$$X = BA^{-1}$
3. 若 $A\cdot X\cdot B=C$$A \cdot X \cdot B = C$，则 $X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$$X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$

例题

求 $X$$X$：$\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)X=\left(\begin{array}{cc}4& -6\\ 2& 1\end{array}\right)$$\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

解：

六、伴随矩阵 $A^{\ast }$$A^*$

核心公式

由 $A\cdot A^{\ast }=A^{\ast }\cdot A=|A|E$$A \cdot A^* = A^* \cdot A = |A|E$，可推出：$A^{\ast }=|A|\cdot A^{-1}$$A^* = |A| \cdot A^{-1}$

例题

设矩阵 $X$$X$ 满足：$A^{\ast }X=A^{-1}B+2X$$A^*X = A^{-1}B + 2X$，其中$\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& 1& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

解：

1. 方程变形： 两边左乘 $A$$A$，得 $A{A}^{\ast }X=A{A}^{-1}B+2AX$$AA^*X = AA^{-1}B + 2AX$，其中 $|A|=4$$|A|=4$，因此：

   $$|A|EX=IB+2AX⟹4X=B+2AX$$

   整理得：

   $$(4E-2A)X=B$$

   因此：

   $$X=(4E-2A{)}^{-1}\cdot B$$

2. 计算 $4E-2A$$4E - 2A$：

   $$\begin{array}{c}4E-2A=\left(\begin{array}{ccc}2& -2& 2\\ 2& 2& -2\\ -2& 2& 2\end{array}\right)\end{array}$$

   其逆矩阵：

   $$\begin{array}{c}(4E-2A{)}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& \frac{1}{4}& 0\\ 0& \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& 0& \frac{1}{4}\end{array}\right)\end{array}$$

3. 计算 $X$$X$：

   $$\begin{array}{c}X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\end{array}$$

七、矩阵的转置

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$$A = (a_{ij})_{n \times n}$，则 $A^T=(a_{ji}{)}_{n\times n}$$A^T = (a_{ji})_{n \times n}$ 称为矩阵 $A$$A$ 的转置。

性质

1. $(A^T{)}^T=A$$(A^T)^T = A$
2. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$$(A+B)^T = A^T + B^T$
3. $(kA{)}^T=k{A}^T$$(kA)^T = kA^T$（$k$$k$ 为常数）
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$$(AB)^T = B^T A^T$

八、方阵行列式性质

1. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
2. $|A^T|=|A|$$|A^T| = |A|$
3. $|k{A}_{n\times n}|=k^n|A|$$|kA_{n \times n}| = k^n |A|$
4. $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$|A^*| = |A|^{n-1}$

常见错误：$|A+B|\ne |A|+|B|$$|A+B| \neq |A| + |B|$

九、矩阵的秩

1. 行阶梯形矩阵的特征

矩阵中的每一行的首个非0元素所在的列比下一行首个非零元素所在的列都靠前。

例：

2. 秩的概念

利用初等行变换将 $A$$A$ 化成行阶梯形矩阵 $B$$B$，则 $r(A)=B$$r(A) = B$ 中非零行的行数。

例：

向量组的线性相关性

向量组

定义：有限个同维数向量（例如：列向量或行向量）组成的一组集合。 例：2维向量组：

向量组的线性相关性

① 两个向量线性相关 $⟺$$\iff$ 对应系数成比例 $⟺$$\iff$ 对应方阵满足 $|{\alpha }_1,{\alpha }_2|=0$$|\alpha_1, \alpha_2| = 0$。 例：

${\alpha }_1$$\alpha_1$ 和 ${\alpha }_2$$\alpha_2$ 线性相关，因为 $\begin{array}{c}|{\alpha }_1,{\alpha }_2|=\left|\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 6\end{array}\right|=0\end{array}$$|\alpha_1, \alpha_2| = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = 0$

② 多个向量：

（如果无关则 $r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)=n$$r(\alpha_1, \dots, \alpha_n) = n$）

③ n+1 个 n 维向量必相关。

例：设

(1) 当 a=? 时，${\alpha }_1$$\alpha_1$,${\alpha }_2$$\alpha_2$ 才相关 (2) 当 a=? 时，${\alpha }_1$$\alpha_1$, ${\alpha }_2$$\alpha_2$, ${\alpha }_3$$\alpha_3$ 才线性无关

解： (1) 由分量成比例：

解得 a = -4。

(2) 设 $|{\alpha }_1$$|\alpha_1$, ${\alpha }_2$$\alpha_2$, ${\alpha }_3|\ne 0$$\alpha_3| \neq 0$，即

按第3列展开：

故 $a\ne \frac{3}{2}$$a \neq \frac{3}{2}$，且 $a\ne -4$$a \neq -4$。

抽象型向量组的线性相关性判断

① 抽象向量组的表示： 例：

② 判定规则：

• 无关向量组 × 可逆矩阵$（|A|\ne 0）⟹$$（|A| \neq 0）\implies$ 无关向量组
• 无关向量组 × 不可逆矩阵$（|A|=0）⟹$$（|A| = 0）\implies$ 线性相关向量组

例：设 ${\alpha }_1$$\alpha_1$, ${\alpha }_2$$\alpha_2$, ${\alpha }_3$$\alpha_3$ 线性无关，问向量组 ${\alpha }_1-{\alpha }_2$$\alpha_1-\alpha_2$, ${\alpha }_2-{\alpha }_3$$\alpha_2-\alpha_3$, ${\alpha }_3-2{\alpha }_1$$\alpha_3-2\alpha_1$ 的相关性。

解：

记矩阵为 C，则 $|C|=-1\ne 0$$|C| = -1 \neq 0$，C 可逆， ∴ 向量组 ${\alpha }_1-{\alpha }_2$$\alpha_1-\alpha_2$, ${\alpha }_2-{\alpha }_3$$\alpha_2-\alpha_3$, ${\alpha }_3-2{\alpha }_1$$\alpha_3-2\alpha_1$ 线性无关。

求向量组的秩与极大无关组

• 极大无关组：${\alpha }_1$$\alpha_1$, ${\alpha }_2$$\alpha_2$, ${\alpha }_3$$\alpha_3$ 的极大无关组一般为行阶梯形中主元所在的列向量。
• 官方定义：设有向量组 A: ${\mathit{\alpha }}_1$$\boldsymbol{\alpha}_1$,${\mathit{\alpha }}_2$$\boldsymbol{\alpha}_2$,$\dots ,{\mathit{\alpha }}_n$$\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$，若存在它的一个部分向量组 ${\mathit{\alpha }}_{i_1},{\mathit{\alpha }}_{i_2},\dots ,{\mathit{\alpha }}_{i_r}，$$\boldsymbol{\alpha}_{i_1},\boldsymbol{\alpha}_{i_2},\dots,\boldsymbol{\alpha}_{i_r}，$满足：

1. 该部分向量组线性无关；
2. 向量组 A 中任意一个向量都可由该部分向量组线性表示； 则称该部分向量组为原向量组的一个极大线性无关组。

例：设

求 ${\alpha }_1$$\alpha_1$, ${\alpha }_2$$\alpha_2$, ${\alpha }_3$$\alpha_3$ 的秩与一个极大无关组。

解：

∴ $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2$$r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = 2$，取主元列对应的原向量为极大无关向量组。 注意： 极大无关组的向量个数唯一，且极大无关组不唯一。

线性方程组

1. 系数矩阵 $A_{m\times n}$$A_{m \times n}$

例：方程组

则 $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 5\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 齐次方程组：$A\cdot x=0$$A \cdot x = 0$

• 若 $r(A_{m\times n})=n⟺A\cdot x=0$$r(A_{m \times n}) = n \iff A \cdot x = 0$ 只有一个零解（唯一解）
• 若 $r(A_{m\times n})<n⟺A\cdot x=0$$r(A_{m \times n}) < n \iff A \cdot x = 0$ 有非零解（无穷解）

例： $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow r(A)=2\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow r(A)=2$，有唯一解。 $\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow r(A)=1<2\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow r(A)=1 < 2$，有无穷个解。

3. 基础解系

当 $Ax=0$$Ax=0$ 有无穷个解时，解集的极大无关线性组称为基础解系。基础解系所含向量的个数为 $n-r(A)$$n - r(A)$ 个。

4. 基础解系的求法

把 $A_{m\times n}$$A_{m \times n}$ 化成行最简形（拐角处为1的行阶梯形矩阵）。

如：$\begin{array}{c}A={\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 3& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)}_{3\times 4}\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}_{3 \times 4}$，则基础解系有2个向量，记为 $\begin{array}{c}{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$\xi_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\begin{array}{c}{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$\xi_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

PS：如何从A快速获得基础解系的向量 ${\xi }_i$$\xi_i$？（最好取阶梯列） ① 确定向量个数：$n-r(A)$$n - r(A)$，从A的右往左数 $n-r(A)$$n - r(A)$ 列，如上的3列和4列，对应 $x_3$$x_3$ 和 $x_4$$x_4$（$x_3$$x_3$ 和 $x_4$$x_4$ 称为自由变量） ② 确定向量：对于第3列，非整数取反，在第3行取1，其余0行保持0，即 $\begin{array}{c}{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$\xi_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 同理：第4列对应 $\begin{array}{c}{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$\xi_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

5. 通解

$x=\sum _{i=1}^k{k}_i{\xi }_i$$x = \sum_{i=1}^{k} k_i \xi_i$，$k_i$$k_i$ 是常数

例：$\begin{array}{c}A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& 3& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$\begin{array}{c}{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$\xi_1 = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\begin{array}{c}{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$\xi_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，通解为 $x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$$x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$，其中 $k_1$$k_1$ 和 $k_2$$k_2$ 是常数。

6. 非齐次方程组的通解

① $A_{m\times n}\cdot x=b$$A_{m \times n} \cdot x = b$

② 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

例：$\begin{array}{c}(A|b)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 2& 1\\ 0& 1& 3& 4& 2\end{array}\right)\Rightarrow r(A)=2=r(A|b)<4\end{array}$$(A|b) = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 & 2 \end{array}\right) \Rightarrow r(A)=2 = r(A|b) < 4$，故有 $n-r(A)$$n - r(A)$ 个自由变量，取 $x_3,x_4$$x_3, x_4$。 1° $Ax=0$$Ax=0$ 求基础解系：$\begin{array}{c}{\xi }_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -3\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$\xi_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，$\begin{array}{c}{\xi }_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ -4\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$\xi_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$，通解：$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2$$x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$ 2° 特解：令在特解中，自由变量行为0，其他为b的常数值，即 $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\to b=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$x_3,x_4=0$$x_3, x_4 = 0$，即 $\begin{array}{c}\eta =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$\eta = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ 3° 组合：$x=k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\eta$$x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \eta$

7. 带参数方程组求解

例：设 $\begin{array}{c}{A}_{3\times 3}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 0& \lambda -1& 0\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right)\end{array}$$A_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$，$\begin{array}{c}b=\left(\begin{array}{c}a\\ 1\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$b = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$，已知 $Ax=b$$Ax=b$ 存在两个不同解，求 $\lambda ,a$$\lambda, a$

解：$\begin{array}{c}(A|b)=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 1& 1& a\\ 0& \lambda -1& 0& 1\\ 1& 1& \lambda & 1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{cccc}1& 1& \lambda & 1\\ 0& \lambda -1& 0& 1\\ 0& 0& 1-{\lambda }^2& a-\lambda +1\end{array}\right)\end{array}$$(A|b) = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & 1 & a \\ 0 & \lambda-1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \end{array}\right) \Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & \lambda & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1-\lambda^2 & a - \lambda + 1 \end{array}\right)$

令

矩阵的特征值与特征向量

一、基础概念

1. 特征值： 由特征方程 $|\lambda E-A|=0$$|\lambda E - A| = 0$ 解得的 $\lambda$$\lambda$，即为矩阵 $A$$A$ 的特征值。
2. 特征向量的求法： 对特征值 $\lambda$$\lambda$，求解齐次线性方程组 $(\lambda E-A)\mathit{x}=0$$(\lambda E - A)\boldsymbol{x} = 0$，其基础解系即为对应于 $\lambda$$\lambda$ 的特征向量。

二、典型例题：求矩阵的特征值与特征向量

设矩阵

求其特征值与特征向量。

步骤1：求特征值

构造特征矩阵并计算行列式：

解得特征值：

步骤2：求对应特征向量

• 当 ${\lambda }_1=-1$$\lambda_1 = -1$ 时： 求解 $({\lambda }_{1}E-A)\mathit{x}=0$$(\lambda_1 E - A)\boldsymbol{x}=0$，对系数矩阵做行变换：

  $$\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& -3\\ -2& -2& -3\\ -3& -3& -7\end{array}\right)\stackrel{\text{行初等变换}}{⟶}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

  秩 $r(\lambda E-A)=2<3$$r(\lambda E - A)=2 < 3$，有1个自由变量，基础解系为：

  $$\begin{array}{c}{\mathit{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

  对应特征向量为 $\begin{array}{c}{k}_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$k_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$（$k_1\ne 0$$k_1 \neq 0$）。

• 当 ${\lambda }_2=9$$\lambda_2 = 9$ 时： 同理可得特征向量为 $\begin{array}{c}{k}_2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right)\end{array}$$k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$（$k_2\ne 0$$k_2 \neq 0$）。

• 当 ${\lambda }_3=0$$\lambda_3 = 0$ 时： 同理可得特征向量为 $\begin{array}{c}{k}_3\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$k_3 \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$（$k_3\ne 0$$k_3 \neq 0$）。

三、特征值与特征向量的核心性质

1. 行列式与迹的性质 设 $n$$n$ 阶矩阵 $A$$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$，则：

   • 行列式：$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$$|A| = \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$
   • 迹：$\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$\text{tr}(A) = \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n$（迹为矩阵主对角线元素之和）

2. 矩阵变换的特征值/特征向量对应关系 若 $A\alpha =\lambda \alpha (\alpha \ne 0)$$A\alpha = \lambda\alpha\ (\alpha \neq 0)$，则不同矩阵变换下的特征值与特征向量如下：

   矩阵形式	$A$$A$	$A^k$$A^k$	$A^3+5A-6E$$A^3+5A-6E$	$A^{-1}$$A^{-1}$	$A^{\ast }$$A^*$	$A^T$$A^T$	$B=P^{-1}AP$$B=P^{-1}AP$（相似）
   对应特征值	$\lambda$$\lambda$	${\lambda }^k$$\lambda^k$	${\lambda }^3+5\lambda -6$$\lambda^3+5\lambda-6$	${\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$$\dfrac{1}{\lambda}$	${\displaystyle \frac{|A|}{\lambda }}$$\dfrac{|A|}{\lambda}$	$\lambda$$\lambda$	$\lambda$$\lambda$
   对应特征向量	$\alpha$$\alpha$	$\alpha$$\alpha$	$\alpha$$\alpha$	$\alpha$$\alpha$	$\alpha$$\alpha$	不确定	$P^{-1}\alpha$$P^{-1}\alpha$

四、特征值性质应用例题

已知三阶矩阵 $A$$A$ 的特征值为 $1,-1,2$$1,-1,2$，求：

1. $B=A^3-5A^2$$B=A^3-5A^2$ 的特征值；
2. $|B|$$|B|$。

解：

1. 由多项式矩阵的特征值性质，$B$$B$ 的特征值为：

   $$1^3-5\times 1^2=-4,(-1{)}^3-5\times (-1{)}^2=-6,2^3-5\times 2^2=-12$$

2. 行列式等于特征值的乘积：

   $$|B|=(-4)\times (-6)\times (-12)=-288$$

五、矩阵的相似对角化

1. 定义：若存在可逆矩阵 $P$$P$，使得 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$$P^{-1}AP = \Lambda$（$\mathrm{\Lambda }$$\Lambda$ 为对角矩阵），则称 $A$$A$ 可相似对角化。

2. 对角化步骤：

   1. 求 $A$$A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$$\lambda_i$；
   2. 求每个特征值对应的特征向量 ${\alpha }_i$$\alpha_i$；
   3. 构造矩阵 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$$P=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$，则 $\begin{array}{c}{P}^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)\end{array}$$P^{-1}AP = \Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$。

六、正交矩阵与实对称矩阵的对角化

1. 正交矩阵：满足 $Q^{-1}=Q^T$$Q^{-1}=Q^T$ 的矩阵 $Q$$Q$。 例：$\begin{array}{c}Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，其逆矩阵与转置矩阵相等，且列向量内积为0。

2. 实对称矩阵的性质：若 $A^T=A$$A^T=A$，则一定存在正交矩阵 $Q$$Q$，使得 $Q^{-1}AQ=\mathrm{\Lambda }$$Q^{-1}AQ = \Lambda$（对角矩阵）。

3. 实对称矩阵对角化步骤：

   1. 求 $A$$A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$；

   2. 求对应特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$；

   3. 施密特正交化：若特征向量不正交，需正交化：

      $$\{\begin{array}{l}{\beta }_1={\alpha }_1\\ {\beta }_2={\alpha }_2-{\displaystyle \frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}}{\beta }_1\end{array}$$

   4. 单位化：将正交化后的向量除以其模，得到单位特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$$\xi_1,\xi_2,\xi_3$；

   5. 构造正交矩阵 $Q=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)$$Q=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$，则 $Q^{-1}AQ=\mathrm{\Lambda }$$Q^{-1}AQ = \Lambda$。